例2（河流污染与进化问题）

(1)设x1表示化工厂1每天处理的污水量（万m³/d），x2表示化工厂2每天每天处理的污水量（万m³/d）

(2)在化工厂1和化工厂2之间，河水中污水含量不得超过0.2%，则有

（2-x1）/500 <= 2/1000, 即x1>=1

河水流经第二个化工厂后，河水中的污水含量仍不得超过0.2%，则有

[0.8（2-x1）+（1.4-x2）]/700 <= 2/1000,即0.8x1+x2 >= 1.6

由于每个化工厂每天处理的污水量不会大于每天的排放量，故应有

x1 <= 2,    x2 <= 1.4

(3)记f表示两个化工厂处理污水的总费用，则有

f=1000x1+800x2

因此，该问题数学模型为

min f=1000x1+800x2

x1>=1

0.8x1+x2 >= 1.6

x1 <= 2

x2 <= 1.4

x1，x2>=0

化为一般形式得：

min f=1000x1+800x2

-x1 <= -1

-0.8x1 - x2 <= -1.6

x1 <= 2

x2<= 1.4

x1，x2>=0

MATLAB代码如下：

c=[1000;800]

A=[-1 0;-0.8 -1;1 0;0 1]

b=[-1;-1.6;2;1.4]

lb=zeros(2,1)

[x,z,exitflag,output,lambda] = linprog(c,A,b,[],[],lb)

运行结果为：

c =

        1000

         800

A =

   -1.0000         0

   -0.8000   -1.0000

    1.0000         0

         0    1.0000

b =

   -1.0000

   -1.6000

    2.0000

    1.4000

lb =

     0

     0

Optimization terminated.

x =

    1.0000

    0.8000

z =

   1.6400e+03

exitflag =

     1

output =

         iterations: 8

          algorithm: 'interior-point-legacy'

       cgiterations: 0

            message: 'Optimization terminated.'

    constrviolation: 0

      firstorderopt: 3.1337e-12

lambda =

    ineqlin: [4x1 double]

      eqlin: [0x1 double]

      upper: [2x1 double]

      lower: [2x1 double]

故最优解为x1=1，x2=0.8，最少费用为1000*1+800*0.8=1640元

例4（运输问题）

设某公司有三个生产地点A1，A2，A3生产某种物资，将运到三个销售地B1，B2，B3,进行销售。已知公司的初始运输方案如表1所示，三个厂到各销售点每吨物资的运价如表2所示，是确定运输费用最省的运输方案

（表1：初始运输方案   单位：t）

（表2：单位运价  单位：元/t）

由表1和表2的数据可知：

总产量为：15+18+17=50

总销量为：18+12+16=46

本题为产>销问题

初始运送方案总运费为：S=8*50+3*20+5*30+6*10+5*10+5*60+3*20+8*80=1990元

对这个问题，虚设一个销地，令其销量为产销量之差

B4=（15+18+17）-（18+12+16）=4

该列单价运价为0，即可化为产销平衡问题，如下表：

构建数学模型，假设产地A1,A2,A3向B1,B2,B3,B4配送的运输量为X1,……X12

设运费为S，构建线性方程组如下：

minS=50*X1+90*X2+20*X3+0*X4+30*X5+10*X6+70*X7+0*X8+60*X9+20*X10+80*X11+0*X12

X1+X2+X3+X4=15

X5+X6+X7+X8=18

X9+X10+X11+X12=17

X1+X5+X9=18

X2+X6+X8=12

X3+X7+X11=16

X4+X8+X12=4

Xi>=0(i=1,2……，12)

MATLAB代码如下：

F=[50 90 20 0 30 10 70 0 60 20 80 0]

m=[1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0

   0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0

   0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1

   1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0

   0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0

   0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0

   0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1]

n=[15 18 17 18 12 16 4]

M=[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]

[v,e]=linprog(F,[],[],m,n,M)

x=reshape(v,4,3)

x=x'

结果为：

F =

  1 至 10 列

    50    90    20     0    30    10    70     0    60    20

  11 至 12 列

    80     0

m =

  1 至 10 列

     1     1     1     1     0     0     0     0     0     0

     0     0     0     0     1     1     1     1     0     0

     0     0     0     0     0     0     0     0     1     1

     1     0     0     0     1     0     0     0     1     0

     0     1     0     0     0     1     0     0     0     1

     0     0     1     0     0     0     1     0     0     0

     0     0     0     1     0     0     0     1     0     0

  11 至 12 列

     0     0

     0     0

     1     1

     0     0

     0     0

     1     0

     0     1

n =

    15    18    17    18    12    16     4

M =

  1 至 10 列

     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0

  11 至 12 列

     0     0

Optimization terminated.

v =

    0.0000

    0.0000

   15.0000

    0.0000

   18.0000

    0.0000

    0.0000

    0.0000

    0.0000

   12.0000

    1.0000

    4.0000

e =

   1.1600e+03

x =

    0.0000   18.0000    0.0000

    0.0000    0.0000   12.0000

   15.0000    0.0000    1.0000

    0.0000    0.0000    4.0000

x =

    0.0000    0.0000   15.0000    0.0000

   18.0000    0.0000    0.0000    0.0000

    0.0000   12.0000    1.0000    4.0000

由此我们可以得出最优运输方案如下：

总运费为：1160元

例7（分配问题）

某车间有甲、乙两台机床加工A,B,C三种工件，在一个生产周期内甲、乙机床的工作机时分别为800、900，需要三种工件的数量分别为400、600、500，且已知用两种不同车床加工不同工件所需的机时数成本如下表，问怎样安排加工任务，才能使得既完成加工任务，又能使总的加工成本最少？

（加工机时表）

（加工成本表）

解：设三种工件在甲机床加工件数分别为x1,x2,x3，在乙机床加工件数分别为x4,x5,x6，设总成本为S

可建立线性规划模型：

minS=13x1+9x2+10x3+11x4+12x5+8x6

x1+x4=400

x2+x5=600

x3+x6=500

0.4x1+1.1x2+x3 <= 800

0.5x3+1.2x5+1.3x6 <= 900

xi >= 0(i=1,2,3,4,5,6)

MATLAB代码如下：

f=[13 9 10 11 12 8]

A=[0.4 1.1 1 0 0 0;0 0 0 0.5 1.2 1.3]

b=[800;900]

Aeq=[1 0 0 1 0 0;0 1 0 0 1 0;0 0 1 0 0 1]

beq=[400;600;500]

lb=zeros(6,1)

[x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb)

运行结果为：

f =

    13     9    10    11    12     8

A =

    0.4000    1.1000    1.0000         0         0         0

         0         0         0    0.5000    1.2000    1.3000

b =

   800

   900

Aeq =

     1     0     0     1     0     0

     0     1     0     0     1     0

     0     0     1     0     0     1

beq =

   400

   600

   500

lb =

     0

     0

     0

     0

     0

     0

Optimization terminated.

x =

    0.0000

  600.0000

    0.0000

  400.0000

    0.0000

  500.0000

fval =

   1.3800e+04

故最优解为在甲机床上生产600件工件B，在乙机床上生产400个工件A，500个工件C，总加工费用为13800