1.   问题：通过SVD分解，压缩图像。

（1）灰色图片的压缩

（2）彩色图片的压缩

1）灰度图像压缩

     分析：

灰色图片压缩，通过imread（）读入图片数据I；

转换图片数据存储类型为浮点型；

通过SVD分解矩阵，分解出U，S，V，三个矩阵， [U S V]=svd(I);%svd奇异分解；

矩阵I=U*S*V’，取U和V的前k列，S的前k行和前k列，即Ik=U(:,1:k)*S(1:k,1:k)*V(:,1:k)'；

最后展示压缩的图片，这里要先把Ik数据存储类型转换回图片读入时的存储类型unit8，即imshow(uint8(Ik));。

     代码：

I=imread('D:4.jpg');  %图片必须是灰度图片

% I=rgb2gray(I);%灰度化矩阵

I=double(I);%转换存储类型为浮点型

[U S V]=svd(I);%svd奇异分解

for k=1:100

    Ik=U(:,1:k)*S(1:k,1:k)*V(:,1:k)';%U的前k列，S的前k行，前k列，V的前k列

    figure;

    imshow(uint8(Ik));

end

实验结果：

原图：

K=72时的图像：

2）彩色图像压缩

分析：类似于灰色图片压缩方法，区别在于I为四元数矩阵，R，G，B分别表示红绿蓝三种颜色矩阵，其与I元素的关系是I=O+Ri+Gj+Bk；且U、V、S都为四元数矩阵所以取前k行或前k列时，如下：

Uk=U(:,[1:k m+1:m+k 2*m+1:2*m+k 3*m+1:3*m+k]);

Vk=V(:,[1:k n+1:n+k 2*n+1:2*n+k 3*n+1:3*n+k]);

Sk=[S(1:k,1:k) zeros(k,k) zeros(k,k) zeros(k,k)];

最后组成新的压缩图片的数据矩阵Ik，显示压缩图片。

代码：

I=imread('D:tets.jpg');  %图片是彩色图片  tets.jpg

% I=rgb2gray(I);%灰度化矩阵

% I=im2double(I1);

R=I(:,:,1);%红色

G=I(:,:,2);%绿色

B=I(:,:,3);%蓝色

R=double(R); G=double(G); B=double(B);%转换存储类型为浮点型

[m,n]=size(R);

O=zeros(m,n);

A=[O G R B];

[U S V]=svdQ(A);%svd奇异分解

for k=1:35

    Uk=U(:,[1:k m+1:m+k 2*m+1:2*m+k 3*m+1:3*m+k]);

    Vk=V(:,[1:k n+1:n+k 2*n+1:2*n+k 3*n+1:3*n+k]);

    Sk=[S(1:k,1:k) zeros(k,k) zeros(k,k) zeros(k,k)];

    Ak=timesQ(timesQ(Uk,Sk),transQ(Vk));%U的前k列，S的前k行，前k列，V的前k列

    [m,n]=size(Ak);

    n=n/4;

    Rk=Ak(:,2*n+1:3*n);

    Gk=Ak(:,n+1:2*n);

    Bk=Ak(:,3*n+1:4*n);

    Ik(:,:,1)=Rk;%红色

    Ik(:,:,2)=Gk;%绿色

    Ik(:,:,3)=Bk;%蓝色

    figure;  imshow(uint8(Ik));

end

实验结果：

k=1~4时的图片：

k=32~35时的图片