﻿ 140211024 魏翔 13 - 计算数学达人 - 专，学者，数值代数，微分方程数值解

### 140211024 魏翔 13

Problem 3:Use separation of variables to find solutions of the IVP given by y(0)=1 and the
following differential equations:
(a) y'=t;   (d) y'=5*(t.^4)*y.

(a):

dy/dt=t,
dy=tdt,
∫dy=∫tdt,
y=(t.^2)/2+c,
y(0)=1, c=1,
y=(t.^2)/2+1.

(d):

dy/dt=5*(t.^4)*y,
dy/y=5*(t.^4)dt,
∫dy/y=∫5*(t.^4)dt,
ln|y|=t.^5+c,
|y|=e.^(t.^5+c)=(e.^c)*(e.^(t.^5)),
y(0)=1,
y=e.^(t.^5).

Problem 2:Plot the Euler's Method approximate solutions for the IVPs in Exercise 3 on
[0,1] for step sizes h=0.1,0.05,and 0.025,along with the exact solution.

(a):

Code:

function [t,y]=Eu(inter,y0,n)
t(1)=inter(1);
y(1)=y0;
h=(inter(2)-inter(1))/n;
for i=1:n
t(i+1)=t(i)+h;
y(i+1)=eulerstep(t(i),y(i),h);
end
plot(t,y)

function y=eulerstep(t,y,h)
y=y+h*ydot(t,y);

function z=ydot(t,y)
z=t+0*y;

Results:

h=0.1:

>> x=0:0.1:1;
>> y=(x.^2)/2+1;
>> plot(x,y)
>> hold on
>> [t,y]=Eu([0 1],1,10)

t =

1 至 10 列

0    0.1000    0.2000    0.3000    0.4000    0.5000    0.6000    0.7000    0.8000    0.9000

11 列

1.0000

y =

1 至 10 列

1.0000    1.0000    1.0100    1.0300    1.0600    1.1000    1.1500    1.2100    1.2800    1.3600

11 列

1.4500

Pictures:

h=0.05:

>> x=0:0.05:1;
>> y=(x.^2)/2+1;
>> plot(x,y)
>> hold on
>> [t,y]=Eu([0 1],1,20)

t =

1 至 10 列

0    0.0500    0.1000    0.1500    0.2000    0.2500    0.3000    0.3500    0.4000    0.4500

11 至 20 列

0.5000    0.5500    0.6000    0.6500    0.7000    0.7500    0.8000    0.8500    0.9000    0.9500

21 列

1.0000

y =

1 至 10 列

1.0000    1.0000    1.0025    1.0075    1.0150    1.0250    1.0375    1.0525    1.0700    1.0900

11 至 20 列

1.1125    1.1375    1.1650    1.1950    1.2275    1.2625    1.3000    1.3400    1.3825    1.4275

21 列

1.4750

Pictures:

h=0.025:

>> x=0:0.025:1;
>> y=(x.^2)/2+1;
>> plot(x,y)
>> hold on
>> [t,y]=Eu([0 1],1,40)

t =

1 至 10 列

0    0.0250    0.0500    0.0750    0.1000    0.1250    0.1500    0.1750    0.2000    0.2250

11 至 20 列

0.2500    0.2750    0.3000    0.3250    0.3500    0.3750    0.4000    0.4250    0.4500    0.4750

21 至 30 列

0.5000    0.5250    0.5500    0.5750    0.6000    0.6250    0.6500    0.6750    0.7000    0.7250

31 至 40 列

0.7500    0.7750    0.8000    0.8250    0.8500    0.8750    0.9000    0.9250    0.9500    0.9750

41 列

1.0000

y =

1 至 10 列

1.0000    1.0000    1.0006    1.0019    1.0038    1.0063    1.0094    1.0131    1.0175    1.0225

11 至 20 列

1.0281    1.0344    1.0413    1.0488    1.0569    1.0656    1.0750    1.0850    1.0956    1.1069

21 至 30 列

1.1188    1.1313    1.1444    1.1581    1.1725    1.1875    1.2031    1.2194    1.2363    1.2538

31 至 40 列

1.2719    1.2906    1.3100    1.3300    1.3506    1.3719    1.3938    1.4163    1.4394    1.4631

41 列

1.4875

Pictures:

(d):

Code:

function [t,y]=Eu(inter,y0,n)
t(1)=inter(1);
y(1)=y0;
h=(inter(2)-inter(1))/n;
for i=1:n
t(i+1)=t(i)+h;
y(i+1)=eulerstep(t(i),y(i),h);
end
plot(t,y)

function y=eulerstep(t,y,h)
y=y+h*ydot(t,y);

function z=ydot(t,y)
z=5*(t.^4)*y;

Results:

h=0.1:

>> x=0:0.1:1;
>> y=exp(x.^5);
>> plot(x,y)
>> hold on
>> [t,y]=Eu2([0 1],1,10)
t =

1 至 10 列

0    0.1000    0.2000    0.3000    0.4000    0.5000    0.6000    0.7000    0.8000    0.9000

11 列

1.0000

y =

1 至 10 列

1.0000    1.0000    1.0001    1.0009    1.0049    1.0178    1.0496    1.1176    1.2517    1.5081

11 列

2.0028

Pictures:

h=0.05:

>> x=0:0.05:1;
>> y=exp(x.^5);
>> plot(x,y)
>> hold on
>> [t,y]=Eu2([0 1],1,20)

t =

1 至 10 列

0    0.0500    0.1000    0.1500    0.2000    0.2500    0.3000    0.3500    0.4000    0.4500

11 至 20 列

0.5000    0.5500    0.6000    0.6500    0.7000    0.7500    0.8000    0.8500    0.9000    0.9500

21 列

1.0000

y =

1 至 10 列

1.0000    1.0000    1.0000    1.0000    1.0002    1.0006    1.0015    1.0036    1.0073    1.0138

11 至 20 列

1.0242    1.0402    1.0640    1.0984    1.1475    1.2163    1.3125    1.4469    1.6358    1.9041

21 列

2.2918
Pictures:

h=0.025:

>> x=0:0.025:1;
>> y=exp(x.^5);
>> plot(x,y)
>> hold on
>> [t,y]=Eu2([0 1],1,40)

t =

1 至 14 列

0    0.0250    0.0500    0.0750    0.1000    0.1250    0.1500    0.1750    0.2000    0.2250    0.2500    0.2750    0.3000    0.3250

15 至 28 列

0.3500    0.3750    0.4000    0.4250    0.4500    0.4750    0.5000    0.5250    0.5500    0.5750    0.6000    0.6250    0.6500    0.6750

29 至 41 列

0.7000    0.7250    0.7500    0.7750    0.8000    0.8250    0.8500    0.8750    0.9000    0.9250    0.9500    0.9750    1.0000

y =

1 至 14 列

1.0000    1.0000    1.0000    1.0000    1.0000    1.0000    1.0000    1.0001    1.0002    1.0004    1.0007    1.0012    1.0020    1.0030

15 至 28 列

1.0044    1.0063    1.0087    1.0120    1.0161    1.0213    1.0278    1.0358    1.0457    1.0576    1.0721    1.0894    1.1102    1.1350

29 至 41 列

1.1645    1.1994    1.2408    1.2899    1.3481    1.4171    1.4991    1.5970    1.7140    1.8545    2.0243    2.2303    2.4823

Pictures:

Problem 6:For the initial value problems in Exercise 4,make a log-log plot of the error of
Euler's Method at t=2 as a function of h=0.1*2.^(-k) for 0≤k≤5.

(a):

Code:

function Plot(inter,y0)
t(1)=inter(1);
y(1)=y0;
for k=0:1:5
h(k+1)=0.1*2.^(-k);
n=1/h(k+1);
for i=1:n
t(i+1)=t(i)+h(k+1);
y(i+1)=eulerstep(t(i),y(i),h(k+1));
end
e(k+1)=y(n+1)-(exp(3)-3);
end
loglog(h,e,'.')

function y=eulerstep(t,y,h)
y=y+h*ydot(t,y);

function z=ydot(t,y)
z=t+y;

Results:

>> Plot([0 2],0)

Pictures:

(b):

Code:

function Plot2(inter,y0)
t(1)=inter(1);
y(1)=y0;
for k=0:1:5
h(k+1)=0.1*2.^(-k);
n=1/h(k+1);
for i=1:n
t(i+1)=t(i)+h(k+1);
y(i+1)=eulerstep(t(i),y(i),h(k+1));
end
e(k+1)=y(n+1)-(exp(-2)+1);
end
loglog(h,e,'.')

function y=eulerstep(t,y,h)
y=y+h*ydot(t,y);

function z=ydot(t,y)
z=t-y;

Results:

>> Plot2([0 2],0)

Pictures:

(c):
Code:

function Plot3(inter,y0)
t(1)=inter(1);
y(1)=y0;
for k=0:1:5
h(k+1)=0.1*2.^(-k);
n=1/h(k+1);
for i=1:n
t(i+1)=t(i)+h(k+1);
y(i+1)=eulerstep(t(i),y(i),h(k+1));
end
e(k+1)=y(n+1)-(exp(-4)+3);
end
loglog(h,e,'.')

function y=eulerstep(t,y,h)
y=y+h*ydot(t,y);

function z=ydot(t,y)
z=4*t-2*y;

Results:

>> Plot3([0 2],0)

Pictures: