﻿ 140211032+何宇+13 - 计算数学达人 - 专，学者，数值代数，微分方程数值解

### 140211032+何宇+13

6.1 Exercises
Problems 3.
Use separation of variables to find solutions of the IVP given by y(0)=1 and the
following differential equations:
(a)y'=t;
dy/dt=t,
dy=t*dt,
∫dy=∫t*dt,
y=1/2*t^2+c,
1=y(0)=c,
Therefore,y=1/2*t^2+1.

(b)y'=5*t^4*y;
dy/dt=5*t^4*y,
dy/y=5*t^4*dt,
∫dy/y=∫5*t^4*dt,
ln|y|=t*5+c1,
|y|=e^(t*5+c1),
1=y(0)=e^c1,c1=0,
y=e^(t^5).

6.1 Computer Problems.
Problem 2.
Plot the Euler's Method approximate solutions for the IVPs in Exercise 3 on [0,1] for step
sizes h=0.1,0.05,and 0.025,along with the exact solution.

(a)y'=t;
Code:
function [t,y]=Eu(inter,y0,n)
t(1)=inter(1);
y(1)=y0;
h=(inter(2)-inter(1))/n;
for i=1:n
t(i+1)=t(i)+h;
y(i+1)=eulerstep(t(i),y(i),h);
end
plot(t,y)

function y=eulerstep(t,y,h)
y=y+h*ydot(t,y);

function z=ydot(t,y)
z=t+0*y;

Results:
(1)h=0.1:
>> x=0:0.1:1;
>> y=1/2*x.^2+1;
>> plot(x,y)
>> hold on
>> [t,y]=Eu([0 1],1,10)

t =

0    0.1000    0.2000    0.3000    0.4000    0.5000    0.6000    0.7000    0.8000    0.9000    1.0000

y =

1.0000    1.0000    1.0100    1.0300    1.0600    1.1000    1.1500    1.2100    1.2800    1.3600    1.4500

Picture:

(2)h=0.05:
>> x=0:0.05:1;
>> y=1/2*x.^2+1;
>> plot(x,y)
>> hold on
>> [t,y]=Eu([0 1],1,20)

t =

1 至 14 列

0    0.0500    0.1000    0.1500    0.2000    0.2500    0.3000    0.3500    0.4000    0.4500    0.5000    0.5500    0.6000    0.6500

15 至 21 列

0.7000    0.7500    0.8000    0.8500    0.9000    0.9500    1.0000

y =

1 至 14 列

1.0000    1.0000    1.0025    1.0075    1.0150    1.0250    1.0375    1.0525    1.0700    1.0900    1.1125    1.1375    1.1650    1.1950

15 至 21 列

1.2275    1.2625    1.3000    1.3400    1.3825    1.4275    1.4750
Picture:

(3)h=0.025:
>> x=0:0.025:1;
>> y=1/2*x.^2+1;
>> plot(x,y)
>> hold on
>> [t,y]=Eu([0 1],1,40)

t =

1 至 14 列

0    0.0250    0.0500    0.0750    0.1000    0.1250    0.1500    0.1750    0.2000    0.2250    0.2500    0.2750    0.3000    0.3250

15 至 28 列

0.3500    0.3750    0.4000    0.4250    0.4500    0.4750    0.5000    0.5250    0.5500    0.5750    0.6000    0.6250    0.6500    0.6750

29 至 41 列

0.7000    0.7250    0.7500    0.7750    0.8000    0.8250    0.8500    0.8750    0.9000    0.9250    0.9500    0.9750    1.0000

y =

1 至 14 列

1.0000    1.0000    1.0006    1.0019    1.0038    1.0063    1.0094    1.0131    1.0175    1.0225    1.0281    1.0344    1.0413    1.0488

15 至 28 列

1.0569    1.0656    1.0750    1.0850    1.0956    1.1069    1.1188    1.1313    1.1444    1.1581    1.1725    1.1875    1.2031    1.2194

29 至 41 列

1.2363    1.2538    1.2719    1.2906    1.3100    1.3300    1.3506    1.3719    1.3938    1.4163    1.4394    1.4631    1.4875
Picture:

(b)y'=5*t^4*y;
Code:
function [t,y]=Eu(inter,y0,n)
t(1)=inter(1);
y(1)=y0;
h=(inter(2)-inter(1))/n;
for i=1:n
t(i+1)=t(i)+h;
y(i+1)=eulerstep(t(i),y(i),h);
end
plot(t,y)

function y=eulerstep(t,y,h)
y=y+h*ydot(t,y);

function z=ydot(t,y)
z=5*t.^4*y;

Results:
(1)h=0.1:
>> x=0:0.1:1;
>> y=exp(x.^5);
>> plot(x,y)
>> hold on
>> [t,y]=Eu([0 1],1,10)

t =

0    0.1000    0.2000    0.3000    0.4000    0.5000    0.6000    0.7000    0.8000    0.9000    1.0000

y =

1.0000    1.0000    1.0001    1.0009    1.0049    1.0178    1.0496    1.1176    1.2517    1.5081    2.0028

Pictures:

(2)h=0.05:
>> x=0:0.05:1;
>> y=exp(x.^5);
>> plot(x,y)
>> hold on
>> [t,y]=Eu([0 1],1,20)

t =

1 至 10 列

0    0.0500    0.1000    0.1500    0.2000    0.2500    0.3000    0.3500    0.4000    0.4500

11 至 20 列

0.5000    0.5500    0.6000    0.6500    0.7000    0.7500    0.8000    0.8500    0.9000    0.9500

21 列

1.0000

y =

1 至 10 列

1.0000    1.0000    1.0000    1.0000    1.0002    1.0006    1.0015    1.0036    1.0073    1.0138

11 至 20 列

1.0242    1.0402    1.0640    1.0984    1.1475    1.2163    1.3125    1.4469    1.6358    1.9041

21 列

2.2918

Picture:

(3)h=0.025:
>> x=0:0.025:1;
>> y=exp(x.^5);
>> plot(x,y)
>> hold on
>> [t,y]=Eu([0 1],1,40)

t =

1 至 10 列

0    0.0250    0.0500    0.0750    0.1000    0.1250    0.1500    0.1750    0.2000    0.2250

11 至 20 列

0.2500    0.2750    0.3000    0.3250    0.3500    0.3750    0.4000    0.4250    0.4500    0.4750

21 至 30 列

0.5000    0.5250    0.5500    0.5750    0.6000    0.6250    0.6500    0.6750    0.7000    0.7250

31 至 40 列

0.7500    0.7750    0.8000    0.8250    0.8500    0.8750    0.9000    0.9250    0.9500    0.9750

41 列

1.0000

y =

1 至 10 列

1.0000    1.0000    1.0000    1.0000    1.0000    1.0000    1.0000    1.0001    1.0002    1.0004

11 至 20 列

1.0007    1.0012    1.0020    1.0030    1.0044    1.0063    1.0087    1.0120    1.0161    1.0213

21 至 30 列

1.0278    1.0358    1.0457    1.0576    1.0721    1.0894    1.1102    1.1350    1.1645    1.1994

31 至 40 列

1.2408    1.2899    1.3481    1.4171    1.4991    1.5970    1.7140    1.8545    2.0243    2.2303

41 列

2.4823

Picture:

Problem 6.
For the initial value problems in Exercise 4,make a log-log plot of the error of Euler's Method
at t=2 as a function of h=0.1*2.^(-k) for 0≤k≤5.

(a)y'=t+y;
Code:
function Plot(inter,y0)
t(1)=inter(1);
y(1)=y0;
for k=0:1:5
h(k+1)=0.1*2.^(-k);
n=2/h(k+1);
for i=1:n
t(i+1)=t(i)+h(k+1);
y(i+1)=eulerstep(t(i),y(i),h(k+1));
end
e(k+1)=y(n+1)-(exp(2)-3);
end
loglog(h,e,'.')

function y=eulerstep(t,y,h)
y=y+h*ydot(t,y);

function z=ydot(t,y)
z=t+y;

Results:

>> Plot([0 2],0)

Picture:

(b)y'=t-y;
Code:
function Plot(inter,y0)
t(1)=inter(1);
y(1)=y0;
for k=0:1:5
h(k+1)=0.1*2.^(-k);
n=2/h(k+1);
for i=1:n
t(i+1)=t(i)+h(k+1);
y(i+1)=eulerstep(t(i),y(i),h(k+1));
end
e(k+1)=y(n+1)-(exp(-2)+1);
end
loglog(h,e,'.')

function y=eulerstep(t,y,h)
y=y+h*ydot(t,y);

function z=ydot(t,y)
z=t-y;

Results:

>> Plot([0 2],0)

Picture:

(c)y'=4t-2y;
Code:
function Plot(inter,y0)
t(1)=inter(1);
y(1)=y0;
for k=0:1:5
h(k+1)=0.1*2.^(-k);
n=2/h(k+1);
for i=1:n
t(i+1)=t(i)+h(k+1);
y(i+1)=eulerstep(t(i),y(i),h(k+1));
end
e(k+1)=y(n+1)-(exp(-4)+3);
end
loglog(h,e,'.')

function y=eulerstep(t,y,h)
y=y+h*ydot(t,y);

function z=ydot(t,y)
z=4*t-2*y;

Results:

>> Plot([0 2],0)

Pictures: